Author: Georgios Antoniou

Affiliation: School of Mathematics and Statistics, University of Glasgow

[A]. G. Antoniou, Frobenius structures, Coxeter discriminants, and supersymmetric mechanics, PhD thesis, University of Glasgow, 2020
[AD]. https://arxiv.org/abs/0910.5453
[SYS].  https://doi.org/10.1080/00927878008822464 
[T].  https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.3272569

Determinant of restricted Saito metric - type E

R=E_8

Objective: To find the determinant of the restricted Saito metric. We use the flat coordinates which are listed in [T].

We firstly define a set of 240 linear forms on 8-dimensional vector space V. They are denoted by G[_], F1[_], F2[_] below. These forms are proportional to the 240 roots of E_8. We use these forms to construct 8 basic invariants, which are denoted by p[_] below. 
Note that the basic invariants p[_] are defined using some orthogonal coordinates, (Subscript[x, 1]),... , (Subscript[x, 8]). Let (Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, 8]) be standard basis of vector space V and consider corresponding coordinates (Subscript[X, 1]), ..., (Subscript[X, 8]) defined by (Subscript[X, i])=(x, (Subscript[e, i])), x is in V.  Let us introduce vectors (Subscript[f, 1]), ..., (Subscript[f, 8]) in V as follows:
(Subscript[f, 1])=((Subscript[e, 1])+(Subscript[e, 2]))/2
(Subscript[f, 2])=((Subscript[e, 1])-(Subscript[e, 2]))/2
(Subscript[f, 3])=((Subscript[e, 3])+(Subscript[e, 4]))/2
(Subscript[f, 4])=((Subscript[e, 3])-(Subscript[e, 4]))/2
(Subscript[f, 5])=((Subscript[e, 5])+(Subscript[e, 6]))/2
(Subscript[f, 6])=((Subscript[e, 5])-(Subscript[e, 6]))/2
(Subscript[f, 7])=((Subscript[e, 7])+(Subscript[e, 8]))/2
(Subscript[f, 8])=((Subscript[e, 7])-(Subscript[e, 8]))/2

Then  (Subscript[x, i])=(x, (Subscript[f, i])), i=1, ..., 8, so (Subscript[x, 1])=1/2 ( (Subscript[X, 1])+(Subscript[X, 2])) etc. This matches notations of [T] although the coordinates (Subscript[X, i]) are not used explicitly in [T]. In the notations of [A] we denote in [A] (Subscript[X, i]) as (Subscript[x, i]) and (Subscript[x, i]) as (Subscript[y, i]).

Indices={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,2,7,8},{1,3,5,7},{1,3,6,8},{1,4,6,7},{1,4,5,8},{2,3,5,8},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{2,4,6,8},{3,4,5,6},{3,4,7,8},{5,6,7,8}};

PM={{0,0,0,0},{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,0,1,1},{0,1,0,0},{0,1,0,1},{0,1,1,0},{0,1,1,1},{1,0,0,0},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,0,1,1},{1,1,0,0},{1,1,0,1},{1,1,1,0},{1,1,1,1}};
G[r_]:=(-1)^PM[[Mod[r,16]+1,1]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,14]+1,1]]]+(-1)^PM[[Mod[r,16]+1,2]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,14]+1,2]]]+(-1)^PM[[Mod[r,16]+1,3]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,14]+1,3]]]+(-1)^PM[[Mod[r,16]+1,4]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,14]+1,4]]]

F1[r_]:= 2 (Subscript[x, r]);
F2[r_]:=-2(Subscript[x, r]);

c={1/120,1/48,1/48,1/48,1/48,1/48,1/48,1/240};
d={2,8,12,14,18,20,24,30};

p[a_]:= c[[a]](Sum[((G[i])^(d[[a]])),{i,1,224}]+Sum[((F1[i])^(d[[a]])),{i,1,8}]+Sum[((F2[i])^(d[[a]])),{i,1,8}])

We construct a flat basis using the basic invariants defined above. These are the Saito polynomials which we denote by t_ below.

(Subscript[t, 1])=p[1];
(Subscript[t, 2])=-15/16 ( 49 ((p[1])^4)-5 p[2]);
(Subscript[t, 3])=15/56 ( 77077 ((p[1])^6)-9075 ((p[1])^(2 ))p[2] + 250 p[3]);
(Subscript[t, 4])=-75/1232 (1429571 ((p[1])^7)-176605 ((p[1])^(3 ))p[2] + 8450 p[1] p[3] - 900 p[4]);
(Subscript[t, 5])= 225/128128 (19689050667 ((p[1])^9)-2366797290 ((p[1])^5)p[2] −15497625 p[1] ((p[2])^2)+ 161551000((p[1])^3) p[3]−26010000 ((p[1])^2)p[4] + 330000 p[5]);
(Subscript[t, 6])=-75/178610432 (633116777839117((p[1])^10)- 74677421397150((p[1])^6)p[2] - 707886840375((p[1])^2)((p[2])^2)+ 5459892516000((p[1])^4)p[3] - 962711190000((p[1])^3)p[4] + 19916370000p[1] p[5] + 1365000 ( 6137p[2]p[3] - 1080 p[6]));
(Subscript[t, 7])=1125/9454564607488 (1337225890828995934221 ((p[1])^12)-151828720025122620480 ((p[1])^8)p[2] - 2256634263217351875((p[1])^4)((p[2])^2)+ 11690427987605112200 ((p[1])^6)p[3] - 2159165294739986400 ((p[1])^5)p[4] - 7057177881390000 p[1] p[2] p[4] + 58582842589110000 ((p[1])^3)p[5] + 1031550000 ((p[1])^2)(68998291 p[2] p[3] - 6514452 p[6]) - 56631250 (11608905 ((p[2])^3)+ 2090608 ((p[3])^2)-907200 p[7]));
(Subscript[t, 8])=-1125/1116546261885902848 (462085649451433694986425168251 ((p[1])^15)-52603136152311242821416393300 ((p[1])^11)p[2] - 765354001507546703732862525 ((p[1])^(7 ))((p[2])^2)+4039554675366904849208253200 ((p[1])^(9 ))p[3] - 749025984522663001367215200 ((p[1])^8)p[4] - 2159454965110111676898000 ((p[1])^4)p[2] p[4] + 20857955298933465971874000 ((p[1])^6)p[5] −34342066800000 ((p[1])^(2 ))(355763437p[3] p[4]+509733180p[2] p[5])+ 38965212000 ((p[1])^5)(611209152292693p[2] p[3]−63983765280330p[6])− 143091945000p[1] ( 119048012369 ((p[2])^2)p[3] - 9892169712 ((p[4])^2)-21628086480p[2] p[6]) +139395750 ((p[1])^3)(959882748247533((p[2])^3)-164000 (1227635657((p[3])^2)-947063502p[7]))+1147961509200000 ( 688779 ((p[2])^2)p[4] + 79895 p[3] p[5]-75600 p[8]));

We would like to express the Saito metric in the basis of simple roots. Recall, that this basis is given by

(Subscript[α, 1])=1/2((Subscript[e, 1])-(Subscript[e, 2])-(Subscript[e, 3])-(Subscript[e, 4])-(Subscript[e, 5])-(Subscript[e, 6])-(Subscript[e, 7])+(Subscript[e, 8]))
(Subscript[α, 2])=(Subscript[e, 1])+(Subscript[e, 2])
(Subscript[α, 3])=(Subscript[e, 2])-(Subscript[e, 1])
(Subscript[α, 4])=(Subscript[e, 3])-(Subscript[e, 2])
(Subscript[α, 5])=(Subscript[e, 4])-(Subscript[e, 3])
(Subscript[α, 6])=(Subscript[e, 5])-(Subscript[e, 4])
(Subscript[α, 7])=(Subscript[e, 6])-(Subscript[e, 5])
(Subscript[α, 8])=(Subscript[e, 7])-(Subscript[e, 6])

Thus, we can write simple roots in terms of (Subscript[f, 1 , ... , ])(Subscript[f, 8]) as follows:

(Subscript[α, 1])=(Subscript[f, 2])-(Subscript[f, 3])-(Subscript[f, 5])-(Subscript[f, 8])
(Subscript[α, 2])=2 (Subscript[f, 1])
(Subscript[α, 3])=-2 (Subscript[f, 2])
(Subscript[α, 4])=(Subscript[f, 2])-(Subscript[f, 1])+(Subscript[f, 3])+(Subscript[f, 4])
(Subscript[α, 5])=-2 (Subscript[f, 4])
(Subscript[α, 6])=(Subscript[f, 5])+(Subscript[f, 6])+(Subscript[f, 4])-(Subscript[f, 3])
(Subscript[α, 7])=-2 (Subscript[f, 6])
(Subscript[α, 8])=-(Subscript[f, 5])+(Subscript[f, 6])+(Subscript[f, 7])+(Subscript[f, 8])

We transform the coordinates (Subscript[x, i])=((Subscript[f, i]),x) to (Subscript[z, i])=((Subscript[α, i]),x). This is given by the matrix A=(A_{ij})_{i,j=1}^8 below.

A={{0,1,-1,0,-1,0,0,-1},{2,0,0,0,0,0,0,0},{0,-2,0,0,0,0,0,0},{-1,1,1,1,0,0,0,0},{0,0,0,-2,0,0,0,0},{0,0,-1,1,1,1,0,0},{0,0,0,0,0,-2,0,0},{0,0,0,0,-1,1,1,1}};
B=Simplify[Inverse[A]];

Calculations are performed in terms of z coordinates, that is we obtain determinant of η_D in terms of x(z). One can substitute x coordinates in terms of z (see e.g. A_6 stratum):

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7]),(Subscript[z, 8])};

(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];
(Subscript[x, 8])=x[[8]];

The Saito metric components in coordinates (Subscript[x, i]) are given below by n[_,_]. Equations of strata are written in terms of (Subscript[x, i]) coordinates initially and then transformed into (Subscript[z, i]) coordinates (see below). We calculate corresponding determinants in (Subscript[z, i]) coordinates. This information is recorded in Tables 3.1, 3.2, 3.3 of [A]. 
The determinants are products of linear forms (\beta,x). We determine root system R_{D, \beta} by calculating its size |R_{D, \beta}|. We do this by calculating the number of roots in R whose restriction to the stratum is zero.  This information is recorded in Tables 3.4, 3.5, 3.6 of [A].

n[k_,l_]:=Sum[D[(Subscript[t, i]),(Subscript[x, k])]D[(Subscript[t, 9-i]),(Subscript[x, l])],{i,1,8}];

We use the notation R, {i_1, ..., i_k} to denote the stratum of type R given by zeros of roots (Subscript[α, (Subscript[i, 1])]), ..., (Subscript[α, (Subscript[i, k])]).

Codimension 6

Irreducible root system R_D

A_6, {2, 4, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_6 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA6=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])};

A6=Transpose[B]. SaitoA6. B;

determinantA6=Factor[Det[{{A6[[1,1]],A6[[1,3]]},{A6[[1,3]],A6[[3,3]]}}]]

In terms of z coordinates

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7]),(Subscript[z, 8])};

(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];
(Subscript[x, 8])=x[[8]];

Simplify[(Subscript[x, 3]^12) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])))^8) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])))^12) (((4 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])))^2) (Subscript[x, 7]^18) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^8)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

4 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

multiplicity of (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A7

multiplicity of 2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D7

multiplicity of (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=E7

multiplicity of 2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A7

Note that the cases of (Subscript[x, 3]) and 4 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7]) follow from Coxeter graph of R

Clear[x]

D_6, {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Impose the D_6 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD6=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0};

D6=Transpose[B]. SaitoD6. B;

determinantD6=Factor[Det[{{D6[[1,1]],D6[[1,8]]},{D6[[1,8]],D6[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7]),(Subscript[z, 8])};

(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];
(Subscript[x, 8])=x[[8]];

Simplify[(Subscript[x, 7]^18) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^12) (Subscript[x, 8]^18) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^12)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]))/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]))/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

multiplicity of (Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

126

This implies that R_{D, \beta}=E_7

multiplicity of (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D_7

Note that the cases of (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]) and (Subscript[x, 8])follow directly from the Coxeter graph of R

E_6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Impose the E_6 stratum restriction on the Saito metric

SaitoE6=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])};

E6=Transpose[B]. SaitoE6. B;

determinantE6=Factor[Det[{{E6[[7,7]],E6[[7,8]]},{E6[[7,8]],E6[[8,8]]}}]]

In terms of z coords

Simplify[(Subscript[x, 6]^18) ((((Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])))^18) (((3 (Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])))^2) (Subscript[x, 7]^2) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^18) (((3 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^2)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}]

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

3 (Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

3 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}

multiplicity of (Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E7

multiplicity of 3(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 6])},0]

multiplicity of (Subscript[x, 7])

This implies that R_{D, \beta}=D7

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D7

multiplicity of (Subscript[x, 7]) +(Subscript[x, 6])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E7

Note that the cases of (Subscript[x, 6])  and 3(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7]) follow from Coxeter graph of R

Reducible root system R_D

A_5 x A_1, {1, 3, 4, 5, 6, 8}

Impose the A_5 xA_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA5A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])};

A5A1=Transpose[B]. SaitoA5A1. B;

Factor[Det[{{A5A1[[2,2]],A5A1[[2,7]]},{A5A1[[2,7]],A5A1[[7,7]]}}]]

In terms of z coordinates

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7]),(Subscript[z, 8])};

(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];
(Subscript[x, 8])=x[[8]];

Simplify[(Subscript[x, 3]^12) (Subscript[x, 8]^8) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^18) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^8) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])))^7) (((3 (Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])))^7)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[3 (Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Multiplicity of  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=A7

Multiplicity of ((Subscript[x, 3])+ (Subscript[x, 8]))

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E7

Multiplicity of ((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8]))

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2 (Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2 (Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2 (Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 x A1

Multiplicity of (3(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8]))

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2 /3(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2/3 (Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])-3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2 /3(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 3])and 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8]) follow from Coxeter graph of R

Clear[x]

D_5 x A_1, {2, 3, 4, 5, 6, 8}

Impose the D_5 xA_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD5A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])};

D5A1=Transpose[B]. SaitoD5A1. B;

Factor[Det[{{D5A1[[1,1]],D5A1[[1,7]]},{D5A1[[1,7]],D5A1[[7,7]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 6]^12) ((((Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])))^12) (Subscript[x, 7]^3) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^18) (((2 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^3) (((3 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^12)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

3 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

multiplicity of (Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]

It implies that R_{D, \beta}=E6xA1

multiplicity of (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

It implies that R_{D, \beta}=D5xA2

multiplicity of (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]

It implies that R_{D, \beta}=E7

multiplicity of 2(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 6])},0]

It implies that R_{D, \beta}=D5xA2

Note that the cases of (Subscript[x, 6])and 3 (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7]) follow from Coxeter graph of R

A_4 x A_2, {1, 3, 4, 5, 7, 8}

Impose the A_4 xA_2 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A2=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])};

A4A2=Transpose[B]. SaitoA4A2. B;

Factor[Det[{{A4A2[[2,2]],A4A2[[2,6]]},{A4A2[[2,6]],A4A2[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^8) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^4) (Subscript[x, 8]^18) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^8) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^8) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])))^4) (((2 (Subscript[x, 3])+3 (Subscript[x, 8])))^8) (((4 (Subscript[x, 3])+3 (Subscript[x, 8])))^2)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[2 (Subscript[x, 3])+3 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[4 (Subscript[x, 3])+3 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Multiplicity of  2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-5(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-5(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-5(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A3

Multiplicity of  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=E7

Multiplicity of  (Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 3]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A7

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])/2}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])/2},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])/2}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])/2},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])/2}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])/2},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A3

Multiplicity of  2(Subscript[x, 3])+3(Subscript[x, 8]): We get the total number of vanishing linear forms to be 40. This equals |D5|. Note that we are interested in the connected component.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-2/3 (Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-2/3 (Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-2/3 (Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D5 x A2

Multiplicity of  4(Subscript[x, 3])+3(Subscript[x, 8]): We get the total number of vanishing linear forms to be 2. This equals |A1|. Note that we are interested in the connected component.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-4/3 (Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-4/3 (Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-4/3 (Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A2 x A1

Note that the cases of 2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8]),  and (Subscript[x, 3]) follow from the Coxeter graph of R

D_4 x A_2, {2, 3, 4, 5, 7, 8}

Impose the D_4 xA_2 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD4A2=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])};

D4A2=Transpose[B]. SaitoD4A2. B;

Factor[Det[{{D4A2[[1,1]],D4A2[[1,6]]},{D4A2[[1,6]],D4A2[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 7]^12) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^8) (Subscript[x, 8]^12) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^12) (((2 (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^8) ((((Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])))^8)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[2 (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Multiplicity of  (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D7

Multiplicity of  (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D5 x A2

Multiplicity of  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D7

Multiplicity of  2(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]): We get the total number of vanishing linear forms to be 40. This equals |D5|. Note that we are interested in the connected component.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 7])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D5 x A2

Note that the cases of (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]) and (Subscript[x, 7])+2(Subscript[x, 8])follow from Coxeter graph of R

A_4 x A_1 x A_1, {2, 3, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_4 xA_1xA_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A1A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])};
A4A1A1=Transpose[B]. SaitoA4A1A1. B;

Factor[Det[{{A4A1A1[[1,1]],A4A1A1[[1,4]]},{A4A1A1[[1,4]],A4A1A1[[4,4]]}}]]

In terns of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^12) ((((Subscript[x, 3])-2 (Subscript[x, 8])))^4) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^12) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^7) (((3 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^3) (Subscript[x, 8]^12) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^7) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^3)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[(Subscript[x, 3])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

3 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])-2(Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A3

Multiplicity of  2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6x A1

Multiplicity of  3(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A2 x A1

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 x A1

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E6 x A1

Multiplicity of  (Subscript[x, 8]):

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=E6 x A1

Note that the case of (Subscript[x, 3]) follows from the Coxeter graph of R

A_3 x A_3, {2, 3, 4, 6, 7, 8}

Impose the A_3xA_3 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A3=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])};
A3A3=Transpose[B]. SaitoA3A3. B;

Factor[Det[{{A3A3[[1,1]],A3A3[[1,5]]},{A3A3[[1,5]],A3A3[[5,5]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^12) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^12) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^5) (((3 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^8) (((5 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])))^5) (Subscript[x, 8]^5) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^8) (((3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^5)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 3]) /.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

3 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

5 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D7

Multiplicity of  3(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A7

Multiplicity of  5(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->5(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->5(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->5(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A3

Multiplicity of  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A3

Multiplicity of  (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A7

Multiplicity of  2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->1/2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->1/2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->1/2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A3

Note that the cases of (Subscript[x, 3]) and 3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8]) follow from Coxeter graph of R

A_3 xA_2 xA_1, {1, 2, 4, 6, 7, 8}

Impose the A_3 xA_2 xA_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A2A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])};
A3A2A1=Transpose[B]. SaitoA3A2A1. B;

Factor[Det[{{A3A2A1[[3,3]],A3A2A1[[3,5]]},{A3A2A1[[3,5]],A3A2A1[[5,5]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^8) (((3 (Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^5) (((3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^7) (Subscript[x, 8]^18) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^5) (((3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^7) (((3 (Subscript[x, 5])+2 (Subscript[x, 8])))^5)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[3 (Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[3 (Subscript[x, 5])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

multiplicity (Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A2

multiplicity 3 (Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3/2 (Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3/2 (Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3/2 (Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A3

multiplicity (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> (Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> (Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2 x A1

multiplicity 3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> 3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> 3(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> 0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> 0},0]

This implies that R_{D, \beta}= E7

multiplicity (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> -(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> -(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])+2/3 (Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 5])-1/3(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])-> -(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A2 x A1

Note that the cases of 3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) and 3 (Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter grah of R

A_2xA_2xA_1xA_1, {1, 2, 3, 5, 6, 8}

Impose the A_2xA_2xA_1xA_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A2A1A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])};
A2A2A1A1=Transpose[B]. SaitoA2A2A1A1. B;

Factor[Det[{{A2A2A1A1[[4,4]],A2A2A1A1[[4,7]]},{A2A2A1A1[[4,7]],A2A2A1A1[[7,7]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^12) ((((Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^8) (((3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^5) (Subscript[x, 8]^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^12) (((2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^5) (((3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^8) (((5 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^5)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}

Simplify[2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

Simplify[5 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 8])->0}]

multiplicity (Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6 x A1

multiplicity (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A2

multiplicity of 3 (Subscript[x, 5 ])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2 x A1

multiplicity of (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2 x A1

multiplicity of 3 (Subscript[x, 5 ])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A2

multiplicity of 5 (Subscript[x, 5 ])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-5(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-5(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-5(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) and 2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

Codimension 5

Irreducible root system R_D

A_5, {4, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA5=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])};
A5=Transpose[B]. SaitoA5. B;

Factor[Det[{{A5[[1,1]],A5[[1,2]],A5[[1,3]]},{A5[[1,2]],A5[[2,2]],A5[[2,3]]},{A5[[1,3]],A5[[2,3]],A5[[3,3]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 1]^7) ((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])))^7) (Subscript[x, 5]^10) ((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 8])))^2) ((((Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^2) ((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^10) ((((Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^7) ((((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^10) ((((Subscript[x, 1])+3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^2) (Subscript[x, 8]^7) ((((Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^7) ((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^12) ((((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^7)/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(((Subscript[z, 1]^2) (Subscript[z, 2]^7) (Subscript[z, 3]^7) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 3])))^7) ((((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3])))^10) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3])))^10) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 3])))^12) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 3])))^7) (((2 (Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 3])))^7) (((2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 3])))^7) ((((Subscript[z, 1])+2 ((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3]))))^10) ((((Subscript[z, 1])+3 ((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3]))))^2) (((2 (Subscript[z, 1])+3 ((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3]))))^2))/1099511627776)
Factor[(Subscript[x, 1])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
((Subscript[z, 2])/2)
Factor[(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-((Subscript[z, 3])/2)
Factor[(Subscript[x, 5])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(1/2) ((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3]))
Factor[(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(1/2) (2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 3]))
Factor[(Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])
Factor[(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 3])
Factor[(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(1/2) (2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 3]))
Factor[(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 3])
Factor[(Subscript[x, 1])+3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 3])
Factor[(Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 2])-3 (Subscript[z, 3])
Factor[(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2])-2 (Subscript[z, 3])
Factor[(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 3])

Factor[(Subscript[x, 8])/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]

multiplicity of  (Subscript[x, 5 ])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D6

multiplicity of  (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A5 x A1

multiplicity  (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or  R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity of  (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D6

multiplicity of  (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=D6

multiplicity of  (Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A5 x A1

multiplicity of  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or  R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity of  (Subscript[x, 1])-3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or  R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity of  (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E6

multiplicity of  (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or  R_{D, \beta}=D5 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 5]), (Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

D_5, {1, 2, 3, 4, 5}

Impose the D_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD5=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])};
D5=Transpose[B]. SaitoD5. B;

Factor[Det[{{D5[[6,6]],D5[[6,7]],D5[[6,8]]},{D5[[6,7]],D5[[7,7]],D5[[7,8]]},{D5[[6,8]],D5[[7,8]],D5[[8,8]]}}]]

in z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 6]^2) (Subscript[x, 7]^2) (((-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^10) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^10) (((-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])))^2) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])))^2) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^12) (Subscript[x, 8]^10) (((-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])))^12) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])))^12) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^12) (((-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])))^2) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])))^2)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}

Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

Factor[(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

multiplicity (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 6])- (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

multiplicity (Subscript[x, 6])+ (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

multiplicity -(Subscript[x, 6])+ (Subscript[x, 7])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 6])+ (Subscript[x, 7])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity  (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6

multiplicity  (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

multiplicity  (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6

multiplicity  (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6

multiplicity -(Subscript[x, 6])+ (Subscript[x, 7])+2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 6])-2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 6]), -(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8]) and (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

Reducible root system R_D

D_4 x A_1, {2, 3, 4, 5, 7}

Impose the D_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD4A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0};
D4A1=Transpose[B]. SaitoD4A1. B;

Factor[Det[{{D4A1[[1,1]],D4A1[[1,6]],D4A1[[1,8]]},{D4A1[[6,1]],D4A1[[6,6]],D4A1[[6,8]]},{D4A1[[8,1]],D4A1[[6,8]],D4A1[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^10) (Subscript[x, 7]^10) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^8) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^8) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^8) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^3) (Subscript[x, 8]^10) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^8) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^8) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^8) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^3)/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1]^8) (Subscript[z, 6]^10) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 6])))^10) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 6])))^8) (Subscript[z, 8]^3) ((((Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) (((2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^3) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^10) (((2 (Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^3) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) (((2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) (((2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^3)
Factor[(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])
Factor[(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])

multiplicity (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A1 or R_{D, \beta}= A6

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A1 or R_{D, \beta}= A6

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A1 or R_{D, \beta}= A6

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[(Subscript[x, 8]),  ])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[(Subscript[x, 8]),  ])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

multiplicity -(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A1 or R_{D, \beta}= A6

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D5 x A1 or R_{D, \beta}= A6

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[(Subscript[x, 8]),  ])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D4 x A2

Note that the cases of (Subscript[x, 5]), (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) and -(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

A_4xA_1, {1, 3, 4, 5, 7}

Impose the A_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])};
A4A1=Transpose[B]. SaitoA4A1. B;

Factor[Det[{{A4A1[[2,2]],A4A1[[2,6]],A4A1[[2,8]]},{A4A1[[6,2]],A4A1[[6,6]],A4A1[[6,8]]},{A4A1[[8,2]],A4A1[[6,8]],A4A1[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^8) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])))^7) (Subscript[x, 5]^6) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])))^12) (((3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])))^3) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])))^7) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])))^2) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])))^6) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])))^3) (Subscript[x, 7]^2) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^7) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^8) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^2) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^8) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^6) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^3)/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(1/65536)(Subscript[z, 2]^8) (Subscript[z, 6]^7) ((((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])))^12) (((2 (Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])))^3) ((((Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 6])))^6) (Subscript[z, 8]^3) ((((Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^6) ((((Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) (((2 (Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^2) ((((Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^7) (((2 (Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^7) ((((Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^2) (((2 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^8) (((3 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^6) (((3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])))^3) (((3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 6])+2 (Subscript[z, 8])))^2)
Factor[(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
((Subscript[z, 2])/2)
Factor[(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(1/2) ((Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 6]))
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])
Factor[3(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 2])-2 (Subscript[z, 6])-(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 2])-3 (Subscript[z, 6])-(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 6])-(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(1/2) (3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 6])+2 (Subscript[z, 8]))
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 2])+2 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 2])+(Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
3 (Subscript[z, 2])+3 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
3 (Subscript[z, 2])+4 (Subscript[z, 6])+(Subscript[z, 8])

multiplicity of (Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity of (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6

multiplicity of 3(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->-3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity of (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1.  We can choose \beta of the form \beta= (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 4])+ (Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7]). We calculate below |<A4, \beta> \cap R|

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])},0]

This implies that we must have R_{D, \beta}= A6 since |<A4, \beta> \cap R|=30 \neq 40=|D5|.

multiplicity of 2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3^2 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2.

multiplicity of 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity of (Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity of (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3^2 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2.

multiplicity of -(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1.  We can choose \beta= (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]). We calculate below |<A4, \beta> \cap R|

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]

multiplicity of (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1.  We can choose \beta= (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]). We calculate below |<A4, \beta> \cap R|

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]

multiplicity of (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1.  We can choose any of \beta= (Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 4])+ (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7]). We calculate below |<A4, \beta> \cap R|

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6

multiplicity of 2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7.])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3^2 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2.

multiplicity of 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7.])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity of (Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7.])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

Note that the cases of (Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5]), (Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7]) follow from the Coxeter graph of R

A_3 x A_2, {2, 3, 4, 6, 7}

Impose the A_3 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A2=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])};
A3A2=Transpose[B]. SaitoA3A2. B;

Factor[Det[{{A3A2[[1,1]],A3A2[[1,5]],A3A2[[1,8]]},{A3A2[[5,1]],A3A2[[5,5]],A3A2[[5,8]]},{A3A2[[8,1]],A3A2[[5,8]],A3A2[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^10) (Subscript[x, 7]^2) (((-3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^5) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^7) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^7) (((3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])))^5) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^6) (((-2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^4) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^4) (Subscript[x, 8]^2) (((-3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^5) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^7) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^7) (((3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^6) (((-2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^4) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^4)/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(1/16384)(Subscript[z, 1]^5) (Subscript[z, 5]^10) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 5])))^7) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 5])))^7) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])))^5) (((2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])))^2) (Subscript[z, 8]^4) ((((Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^6) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^5) (((2 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^4) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^7) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^7) (((2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^4) ((((Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^5) (((2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^6) (((2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])))^4) (((2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 5])+2 (Subscript[z, 8])))^2)
Factor[(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
((Subscript[z, 5])/2)
Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(1/2) (2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 5])+2 (Subscript[z, 8]))
Factor[-3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[-2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(1/2) (-2 (Subscript[z, 1])-3 (Subscript[z, 5]))
Factor[-3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-3 (Subscript[z, 5])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 5])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 5])
Factor[3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])
Factor[(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])
Factor[-2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 4])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 5])+(Subscript[z, 8])

multiplicity (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])-3(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])+3(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 or R_{D, \beta}= A4 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])-3(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 3])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 3]), 3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8]) and -2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

A_3 x A_1 x A_1, {2, 3, 5, 6, 7}

Impose the A_3 x A_1 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A1A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])};
A3A1A1=Transpose[B]. SaitoA3A1A1. B;

Factor[Det[{{A3A1A1[[1,1]],A3A1A1[[1,4]],A3A1A1[[1,8]]},{A3A1A1[[4,1]],A3A1A1[[4,4]],A3A1A1[[4,8]]},{A3A1A1[[8,1]],A3A1A1[[4,8]],A3A1A1[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^10) (Subscript[x, 7]^8) (((-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^3) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^6) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^6) (((2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^3) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^5) (Subscript[x, 8]^8) (((-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^3) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^6) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^6) (((2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^5)/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1]^3) (Subscript[z, 4]^10) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 4])))^6) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])))^8) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])))^6) ((((Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])))^3) (Subscript[z, 8]^5) ((((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^4) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^3) (((2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^5) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^6) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^8) ((((Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^6) (((2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^5) ((((Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^3) (((2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^4) (((2 (Subscript[z, 1])+6 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])))^5)
Factor[(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 4])
Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+6 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 4])
Factor[-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-4 (Subscript[z, 4])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-3 (Subscript[z, 4])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 4])
Factor[2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
-(Subscript[z, 1])
Factor[(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}]
2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 8])

multiplicity (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta=D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])-2(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])+2(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2 or R_{D, \beta}= A3^2. We can choose \beta= (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]).  Below we calculate the size | < A3, \beta> \cap R|.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

We get that  | < A3, \beta> \cap R|= 12 \neq |A4|. This implies that R_{D, \beta}= A3^2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 5]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2 or R_{D, \beta}= A3^2. We can choose \beta= -(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]).  Below we calculate the size | < A1^2, \beta> \cap R|.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]

We get that  | < A1^2, \beta> \cap R|= 6 \neq |A3|. This implies that R_{D, \beta}=  A4 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2 or R_{D, \beta}= A3^2. We can choose \beta= (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]).  Below we calculate the size | < A1^2, \beta> \cap R|.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8])},0]

We get that  | < A1^2, \beta> \cap R|= 6 \neq |A3|. This implies that R_{D, \beta}=  A4 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta=D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])-2(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->2(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2 or R_{D, \beta}= A3^2. We can choose \beta= (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]).  Below we calculate the size | < A3, \beta> \cap R|.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]

We get that  | < A3, \beta> \cap R|= 12 \neq |A4|. This implies that R_{D, \beta}= A3^2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2 or R_{D, \beta}= A3^2. We can choose \beta= (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8]).  Below we calculate the size | < A1^2, \beta> \cap R|.

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 8])},0]

We get that  | < A1^2, \beta> \cap R|= 6 \neq |A3|. This implies that R_{D, \beta}= A4 x A1^2

A_2xA_2xA_1, {1, 2, 3, 5, 6}

Impose the A_2 x A_2 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A2A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])};
A2A2A1=Transpose[B]. SaitoA2A2A1. B;

Factor[Det[{{A2A2A1[[4,4]],A2A2A1[[4,6]],A2A2A1[[4,8]]},{A2A2A1[[4,6]],A2A2A1[[6,6]],A2A2A1[[6,8]]},{A2A2A1[[8,4]],A2A2A1[[6,8]],A2A2A1[[8,8]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^6) (Subscript[x, 7]^2) (((-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^2) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^6) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^6) (((3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^2) (((-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])))^4) ((((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^5) (((-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])))^5) (Subscript[x, 8]^4) (((-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^12) (((2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^4) (((3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^5) (((2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])))^4) (((3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])))^4)/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
-(1/65536)(Subscript[z, 4]^12) (Subscript[z, 7]^4) ((((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])))^5) (((2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])))^6) (((3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])))^5) (((4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])))^4) (Subscript[z, 8]^2) ((((Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^4) ((((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^5) (((2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^6) (((3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^5) (((4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^4) (((2 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^4) (((3 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^5) (((4 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^6) (((5 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^5) (((6 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^4) (((6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])))^2) (((6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 7])+2 (Subscript[z, 8])))^2)
Factor[(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(1/2) (2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7]))
Factor[(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(1/2) (6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 7])+2 (Subscript[z, 8]))
Factor[-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(Subscript[z, 8])
Factor[- (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
4 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[-3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
4 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
6 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
5 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[-2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(1/2) (-4 (Subscript[z, 4])-(Subscript[z, 7]))
Factor[-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
-3 (Subscript[z, 4])-(Subscript[z, 7])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
-(Subscript[z, 4])
Factor[2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
((Subscript[z, 7])/2)
Factor[3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])
Factor[(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
3 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
(Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])
Factor[3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 1])->0}/. {(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 6])->0}]
2 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 7])+(Subscript[z, 8])

multiplicity (Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A2^2 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 7])+3(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A2^2 x A1^2

multiplicity -3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity -(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity -2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity 2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])-(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity (Subscript[x, 8])+3(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

multiplicity 3(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])+2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

Note that the cases of -3 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]), (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])and 2 (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

A_2xA_1xA_1xA_1, {2, 3, 5, 7, 8}

Impose the A_2 x A_1 x A_1 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A1A1A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])};
A2A1A1A1=Transpose[B]. SaitoA2A1A1A1. B;

Factor[Det[{{A2A1A1A1[[1,1]],A2A1A1A1[[1,4]],A2A1A1A1[[1,6]]},{A2A1A1A1[[4,1]],A2A1A1A1[[4,4]],A2A1A1A1[[4,6]]},{A2A1A1A1[[6,1]],A2A1A1A1[[6,4]],A2A1A1A1[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^6) (Subscript[x, 5]^8) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])))^5) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])))^5) ((((Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^8) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^5) (((2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])))^3) (Subscript[x, 8]^8) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])))^5) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^4) (((-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^3) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])))^3)/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1]^3) (Subscript[z, 4]^6) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 4])))^4) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])))^3) (Subscript[z, 6]^5) ((((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])))^8) ((((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])))^5) (((2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])))^5) ((((Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])))^8) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])))^5) ((((Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 6])))^8) ((((Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 6])))^5) ((((Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])))^4) (((2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])))^3) ((((Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])))^3) (((2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])))^4) (((2 (Subscript[z, 1])+6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])))^3) ((((Subscript[z, 1])+2 ((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6]))))^5) ((((Subscript[z, 1])+3 ((Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6]))))^3)
Factor[(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 4])
Factor[(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
2 (Subscript[z, 4])+(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-2 (Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
2 (Subscript[z, 1])+6 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+2 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+2 (Subscript[z, 6])
Factor[2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+4 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+3 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
(Subscript[z, 1])+5 (Subscript[z, 4])+3 (Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 4])-(Subscript[z, 6])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-3 (Subscript[z, 4])-(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 4])-(Subscript[z, 6])
Factor[(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 4])
Factor[-(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])-2 (Subscript[z, 4])
Factor[(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])/.{(Subscript[z, 2])->0}/. {(Subscript[z, 3])->0}/. {(Subscript[z, 5])->0}/. {(Subscript[z, 7])->0}/. {(Subscript[z, 8])->0}]
-(Subscript[z, 1])

multiplicity (Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 8])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A1^2 or R_{D, \beta}=A3^2

multiplicity -2(Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A3 x A2 x A1

multiplicity -(Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

multiplicity -(Subscript[x, 8])+2(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->1/2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->1/2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->1/2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A3 x A2 x A1

multiplicity -(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A1^2 or R_{D, \beta}=A3^2

multiplicity (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A1^2 or R_{D, \beta}=A3^2

multiplicity (Subscript[x, 8])+(Subscript[x, 5])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A3 x A2 x A1

multiplicity -(Subscript[x, 3 ])+(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A2^2 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 3 ])+(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+2(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A2^2 x A1^2

multiplicity -(Subscript[x, 3 ])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A1^2 or R_{D, \beta}=A3^2

multiplicity (Subscript[x, 3 ])+(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A4 x A1^2 or R_{D, \beta}=A3^2

multiplicity -(Subscript[x, 3 ])+2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A2^2 x A1^2

multiplicity (Subscript[x, 3 ])+2(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->-2(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A2^2 x A1^2

multiplicity -(Subscript[x, 3 ])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])

sizeofrootsystem=Count[Array[G,224,{1,224}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F1,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]+Count[Array[F2,8,{1,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 8])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A2^2 x A1^2

Note that the cases of (Subscript[x, 3]), -(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5]) and (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 8]) follow from the Coxeter graph of R

Dimension 1

Irreducible root system R_D

A_7, {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_7 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA7=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 1])};
SaitoA7n=Transpose[B]. SaitoA7. B;
SaitoA7n[[2,2]]

D_7, {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Impose the D_7 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD7=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 8])};
SaitoD7n=Transpose[B]. SaitoD7. B;
SaitoD7n[[1,1]]
3185049600000 (Subscript[x, 8]^30)

E_7, {1, 2, 3 4, 5, 6, 7}

Impose the E_7 stratum restriction on the Saito metric

SaitoE7=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 8])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0};
SaitoE7n=Transpose[B]. SaitoE7. B;
SaitoE7n[[8,8]]
119574225000 (Subscript[x, 7]^30)

Reducible root system R_D

E_6 x A_1, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Impose the E_6 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoE6A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 8])->(Subscript[x, 6])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 6])};
SaitoE6A1n=Transpose[B]. SaitoE6A1. B;
SaitoE6A1n[[7,7]]
-934920894363048345600000 (Subscript[x, 6]^30)

D_5 x A_2, {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}

Impose the D_5 x A_2 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD5A2=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 5])};
SaitoD5A2n=Transpose[B]. SaitoD5A2. B;
SaitoD5A2n[[6,6]]
752295975321600000 (Subscript[x, 5]^30)

A_6 x A_1, {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_6 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA6A1=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 8])->3(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-4(Subscript[x, 2])};
SaitoA6A1n=Transpose[B]. SaitoA6A1. B;
SaitoA6A1n[[3,3]]
-4158667366315582921113600000 (Subscript[x, 2]^30)

A_4 x A_2 x A_1, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}

Impose the A_4 x A_2 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A1A4=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 3])};
SaitoA2A1A4n=Transpose[B]. SaitoA2A1A4. B;
SaitoA2A1A4n[[4,4]]
71744535000000000000000 (Subscript[x, 3]^30)

A_4 x A_3, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

Impose the A_4 x A_3 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A3=Table[n[i,j],{i,8},{j,8}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 8])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->5(Subscript[x, 3])};
SaitoA4A3n=Transpose[B]. SaitoA4A3. B;
SaitoA4A3n[[5,5]]

-281792804290560000000000000000 (Subscript[x, 3]^30)

R=E_7

Objective: To find the determinant of the restricted Saito metric. We use the polynomials which are listed in [T]. Calculations are similar to the case R=E_8 (see therein for detailed comments)

Indices={{1,2,7},{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{2,4,6},{3,4,7},{5,6,7}};
PM={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{0,1,1},{1,0,0},{1,0,1},{1,1,0},{1,1,1}};
F[r_]:=(-1)^PM[[Mod[r,8]+1,1]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,7]+1,1]]]+(-1)^PM[[Mod[r,8]+1,2]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,7]+1,2]]]+(-1)^PM[[Mod[r,8]+1,3]] Subscript[x,Indices[[Mod[r,7]+1,3]]]

Indices2={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,3,5,7},{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{3,4,5,6}};

PM2={{0,0,0,0},{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,0,1,1},{0,1,0,0},{0,1,0,1},{0,1,1,0},{0,1,1,1},{1,0,0,0},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,0,1,1},{1,1,0,0},{1,1,0,1},{1,1,1,0},{1,1,1,1}};
G2[r_]:=(-1)^PM2[[Mod[r,16]+1,1]] Subscript[x,Indices2[[Mod[r,7]+1,1]]]+(-1)^PM2[[Mod[r,16]+1,2]] Subscript[x,Indices2[[Mod[r,7]+1,2]]]+(-1)^PM2[[Mod[r,16]+1,3]] Subscript[x,Indices2[[Mod[r,7]+1,3]]]+(-1)^PM2[[Mod[r,16]+1,4]] Subscript[x,Indices2[[Mod[r,7]+1,4]]]

F1[r_]:= (Subscript[x, r]);
F2[r_]:=-(Subscript[x, r]);

c={1/24,1/24,1/8,1/24,1/24,1/8,1/24};
d={2,6,8,10,12,14,18};

Below we denote by p[_] basic invariants for E7

p[a_]:= c[[a]]Sum[((F[i])^(d[[a]])),{i,1,56}]

We calculate Jacobian J to determine root system for E7.

J=Table[D[p[i],(Subscript[x, j])], {i, 1, 7}, {j, 1, 7}];

Factor[Det[J]]

Define flat coordinates (Saito polynomials)

(Subscript[t, 1])=p[1];
(Subscript[t, 2])=-1/6(35 ((p[1])^3)-27 p[2]);
(Subscript[t, 3])=1/60 (2555 ((p[1])^4)-3024 p[1]p[2]+243 p[3]);
(Subscript[t, 4])=-729/70(7 ((p[1])^5)-14((p[1])^2)p[2] + 3 p[1]p[3]-2p[4]);
(Subscript[t, 5])=1/630 (-62986 ((p[1])^6)-245322 ((p[1])^3)p[2]+248589 ((p[1])^2)p[3]-352836 p[1] p[4] -15309 (11 ((p[2])^2)-4 p[5]));
(Subscript[t, 6])=1/200970 (311637755 ((p[1])^7)-491053563 ((p[1])^4)p[2] - 105671709 ((p[1])^3)p[3]+349852932 ((p[1])^2)p[4] +132678 p[1] (2783 ((p[2])^2)-1032 p[5])-32805 (1001 p[2] p[3] -216 p[6]));
(Subscript[t, 7])=1/22229291700 (−1608536176703995 ((p[1])^9)+3765720816716166 ((p[1])^6)p[2] + +8366046538608 ((p[1])^5)p[3] -1414871708456250 ((p[1])^4)p[4] + 320222727 p[1] ( 7767 ((p[3])^2)+ 33832 p[2]p[4])-1561518 ((p[1])^3)(1584976833 ((p[2])^2)-563978620 p[5]) + 16061328 ((p[1])^2)(20903047 p[2] p[3]-4328100 p[6]) +12557754 (4123945 ((p[2])^3)−772497 p[3] p[4] - 2977380 p[2] p[5] +510300 p[7]));

n[k_,l_]:=Sum[D[(Subscript[t, i]),(Subscript[x, k])]D[(Subscript[t, 8-i]),(Subscript[x, l])],{i,1,7}];

A={{0,1,-1,0,0,-1,-1},{2,0,0,0,0,0,0},{0,-2,0,0,0,0,0},{-1,1,1,1,0,0,0},{0,0,0,-2,0,0,0},{0,0,-1,1,1,1,0},{0,0,0,0,-2,0,0}};
B=Inverse[A];

We can define below z coordinates z_i= (alpha_i,x) (see below).

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7])};
(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];

Codimension 5

Irreducible root system R_D

A_5, {2, 4, 5, 6, 7}

Impose the A_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA5=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])};
A5=Transpose[B]. SaitoA5 . B;

Factor[Det[{{A5[[1,1]],A5[[1,3]]},{A5[[1,3]],A5[[3,3]]}}]]

In terms of z coordinates

x= B.{(Subscript[z, 1]),(Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3]),(Subscript[z, 4]),(Subscript[z, 5]),(Subscript[z, 6]),(Subscript[z, 7])};
(Subscript[x, 1])=x[[1]];
(Subscript[x, 2])=x[[2]];
(Subscript[x, 3])=x[[3]];
(Subscript[x, 4])=x[[4]];
(Subscript[x, 5])=x[[5]];
(Subscript[x, 6])=x[[6]];
(Subscript[x, 7])=x[[7]];

Simplify[(Subscript[x, 2]^10) ((((Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7])))^10) (((3 (Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7])))^2) (Subscript[x, 7]^2) ((((Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])))^10) (((3 (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])))^2)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 2])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

3(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

3(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Multiplicity of (Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 2])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

Multiplicity of (Subscript[x, 7]). We get in total 60 roots. The root system contains A5.

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7]). We get in total 60 roots. The root system contains A5.

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 2])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

Multiplicity of 3(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 7]). We get in total 32 roots. The root system contains A5.

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 2])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 2])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 2]) and 3(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 7]) follow from the Coxeter graph of R

Clear[x]

A_5’, {3, 4, 5, 6, 7}

Impose the A_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA51=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])};
A51=Transpose[B]. SaitoA51. B;

Factor[Det[{{A51[[1,1]],A51[[1,2]]},{A51[[1,2]],A51[[2,2]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 1]^10) (((2 (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 7])))^7) (Subscript[x, 7]^12) (((2 (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 7])))^7)/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 1])/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2 (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2 (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Multiplicity of 2(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 7.])

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 1])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 1])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->2(Subscript[x, 1])},0]

This implies that  R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 7.])

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that  R_{D, \beta}=E6

Note that the cases of (Subscript[x, 1]) and 2 (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 7]) follow from the Coxeter graph of R

D_5, {1, 2, 3, 4, 5}

Impose the D_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD5=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 7])};
D5=Transpose[B]. SaitoD5 . B;

Factor[Det[{{D5[[6,6]],D5[[6,7]]},{D5[[6,7]],D5[[7,7]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 5]^2) ((((Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])))^12) (Subscript[x, 7]^10) ((((Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])))^12)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}]

(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}

(Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}

(Subscript[x, 5])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}

Note that the cases of (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7]) and (Subscript[x, 5]) follow from the Coxeter graph of R

Multiplicity of (Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D6

Multiplicity of (Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 7])},0]

This implies that R_{D, \beta}=E6

Note that the cases of (Subscript[x, 5])-(Subscript[x, 7]) and (Subscript[x, 5]) follow from the Coxeter graph of R

Reducible root system R_D

A_4xA_1, {1, 2, 3, 4, 7}

Impose the A_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A1=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])};
A4A1=Transpose[B]. SaitoA4A1 . B;

Factor[Det[{{A4A1[[5,5]],A4A1[[5,7]]},{A4A1[[5,7]],A4A1[[7,7]]}}]]

In terms of z coordinates

Factor[(Subscript[x, 3]^8) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])))^3) (Subscript[x, 6]^12) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^6) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^7)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Multiplicity of (Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=E6

Multiplicity of (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 3]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 6])+2(Subscript[x, 3]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1. Below we calculate |<A4, \beta> \cap R|. We choose \beta=(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 5])-2(Subscript[x, 3])},0]

We get that  |<A4, \beta> \cap R|=30 \neq 40=|D5|. This implies that R_{D, \beta}=A6

Note that the cases of  (Subscript[x, 3]) and 2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6]) follow from the Coxeter graph of R

D_4xA_1, {2, 3, 4, 5, 7}

Impose the D_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD4A1=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0};
D4A1=Transpose[B]. SaitoD4A1 . B;

Factor[Det[{{D4A1[[1,1]],D4A1[[1,6]]},{D4A1[[1,6]],D4A1[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 6]^10) ((((Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])))^8) (Subscript[x, 7]^10) ((((Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^8)/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Multiplicity of ((Subscript[x, 6])-(Subscript[x, 7])).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 7])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 7])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}= D5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 7]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=D6

Note that the cases of (Subscript[x, 6])and (Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7]) follow from the Coxeter graph of R

A_3xA_2, {1, 3, 5, 6, 7}

Impose the A_3 x A_2 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A2=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])};
A3A2=Transpose[B]. SaitoA3A2 . B;

Factor[Det[{{A3A2[[2,2]],A3A2[[2,4]]},{A3A2[[2,4]],A3A2[[4,4]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[ (Subscript[x, 1]^2) ((((Subscript[x, 1])-3 (Subscript[x, 3])))^5) ((((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 3])))^7) (Subscript[x, 3]^10) ((((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 3])))^7) ((((Subscript[x, 1])+3 (Subscript[x, 3])))^5)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Factor[(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Factor[(Subscript[x, 1])-3(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Factor[(Subscript[x, 1])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Multiplicity of (Subscript[x, 1])-3(Subscript[x, 3]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4xA2.

Multiplicity of (Subscript[x, 3]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 1])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

Multiplicity of (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 3]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 3]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 1])->-3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4xA2.

Note that the cases of (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 3]) and (Subscript[x, 1]) follow from the Coxeter graph of R

A_3xA_1xA_1, {1, 2, 4, 5, 7}

Impose the A_3 x A_1 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA3A1A1=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])};
A3A1A1=Transpose[B]. SaitoA3A1A1 . B;

Factor[Det[{{A3A1A1[[3,3]],A3A1A1[[3,6]]},{A3A1A1[[3,6]],A3A1A1[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^8) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])))^6) (Subscript[x, 6]^3) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^10) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^3) (((3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^6)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

3 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Multiplicity of (Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= D6

Multiplicity of 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

Multiplicity of 3(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-3(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-3(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A5 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 3]) and (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6]) follow from the Coxeter graph of R

A_2xA_2xA_1, {1, 2, 4, 6, 7}

Impose the A_2 x A_2  x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A2A1=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])};
A2A2A1=Transpose[B]. SaitoA2A2A1 . B;

Factor[Det[{{A2A2A1[[3,3]],A2A2A1[[3,5]]},{A2A2A1[[3,5]],A2A2A1[[5,5]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^12) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])))^5) (((2 (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])))^4) (Subscript[x, 4]^6) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])))^5) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])))^4)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 4])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Factor[2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Factor[2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 4])->0}/.{(Subscript[z, 6])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Multiplicity of (Subscript[x, 3]).

sizeofrootsystem=Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 4])}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}= E6

Multiplicity of (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A4 x A2

Multiplicity of 2(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 4]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

Multiplicity of 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}= A3 x A2 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 4]) and (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4]) follow from the Coxeter graph of R

A_2xA_1xA_1xA_1, {1, 2, 3, 5, 7}

Impose the A_2 x A_1 x A_1 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A1A1A1=Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])};
A2A1A1A1=Transpose[B]. SaitoA2A1A1A1 . B;

Factor[Det[{{A2A1A1A1[[4,4]],A2A1A1A1[[4,6]]},{A2A1A1A1[[4,6]],A2A1A1A1[[6,6]]}}]]

In terms of z coordinates

Simplify[(Subscript[x, 3]^8) ((((Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])))^4) (Subscript[x, 6]^8) ((((Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^8) (((2 (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])))^4) ((((Subscript[x, 3])+2 (Subscript[x, 6])))^4)/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

(Subscript[x, 3])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}

Factor[(Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 6])/.{(Subscript[z, 1])->0}/.{(Subscript[z, 2])->0}/.{(Subscript[z, 3])->0}/.{(Subscript[z, 5])->0}/.{(Subscript[z, 7])->0}]

Multiplicity of (Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->0},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A6 or R_{D, \beta}=D5 x A1

Multiplicity of 2(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A3 x A2 x A1

Multiplicity of (Subscript[x, 3])+2(Subscript[x, 6]).

Count[Array[G2,112,{1,112}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-1/2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F1,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-1/2(Subscript[x, 3])},0]+Count[Array[F2,7,{1,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-1/2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 6])->-1/2(Subscript[x, 3])},0]

This implies that R_{D, \beta}=A3 x A2 x A1

Note that the cases of (Subscript[x, 3]) and (Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 6]) follow from the Coxeter graph of R

Dimension 1

Irreducible root system R_D

A_6, {1, 3, 4, 5, 6, 7}

Impose the A_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

metricA6= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 1])};
metricA6= Transpose[B]. metricA6 . B;
metricA6[[2,2]]

E_6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Impose the E_6 stratum restriction on the Saito metric

metricE6= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->(Subscript[x, 5])};
metricE6n= Transpose[B]. metricE6 . B;
metricE6n[[7,7]]

D_6, {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Impose the D_6 stratum restriction on the Saito metric

metricD6= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0};
metricD6n= Transpose[B]. metricD6 . B;
metricD6n[[1,1]]

Reducible root system R_D

A_5 x A_1, {1, 2, 4, 5, 6, 7}

Impose the A_5 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

metricA5A1= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])};
metricA5A1= Transpose[B]. metricA5A1 . B;
metricA5A1[[3,3]]

D_5 x A_1, {1, 2, 3, 4, 5, 7}

Impose the D_5 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

metricD5A1= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 6])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 5])->0};
metricD5A1= Transpose[B]. metricD5A1 . B;
metricD5A1[[6,6]]

A_4 x A_2, {1, 2, 3, 4, 6, 7}

Impose the A_4 x A_2 stratum restriction on the Saito metric

metricA4A2= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->2(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 3])};
metricA4A2= Transpose[B]. metricA4A2 . B;
metricA4A2[[5,5]]

A_3 x A_2 x A_1, {1, 2, 3, 5, 6, 7}

Impose the A_3 x A_2 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

metricA2A3A1= Table[n[i,j],{i,7},{j,7}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0}/.{(Subscript[x, 6])->(Subscript[x, 3])}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 7])->-2(Subscript[x, 3])};
metricA2A3A1= Transpose[B]. metricA2A3A1 . B;
metricA2A3A1[[4,4]]

R=E_6

Objective: We calculate the determinant of the restricted Saito metric (dimension 1). We use the flat coordinates which are listed in [AD].

We firstly define a set of 6 polynomials p[ _,_] on 8-dimensional vector space V. They are defined using some coordinates (Subscript[x, 1]),..., (Subscript[x, 8])on V.

p[z_,m_]:=Module[{x,i,j},
Expand[Sum[(((1/2((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]))-(Subscript[x, i])))^m),{i,1,6}]+Sum[(((-1/2((Subscript[x, 7])-(Subscript[x, 8]))-(Subscript[x, i])))^m),{i,1,6}]+Sum[((((Subscript[x, i])+(Subscript[x, j]) ))^m),{i,1,5},{j,i+1,6}]]/.x->z]

The action of the group E_6 on V is generated by orthogonal reflections in the hyperplanes (Subscript[x, 1])=(Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 2])=(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 3])=(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 4])=(Subscript[x, 5]),(Subscript[x, 5])=(Subscript[x, 6,  ])(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 7])=(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 8]) operating in the  subspace U in V given by equations (Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + (Subscript[x, 3]) +  (Subscript[x, 5]) + (Subscript[x, 6])=0 and (Subscript[x, 7])+(Subscript[x, 8])=0. We consider restriction of the polynomials p[_,_] to U. We get a set of basic invariants of E_6, namely polynomials p1, ..., p6 in the coordinates (Subscript[x, 1]),..., (Subscript[x, 5]),(Subscript[x, 7. ])

Invariant polynomials for E6

p1=1/12 Simplify[p[x,2]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))}];
p2=p[x,5]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))};
p3=p[x,6]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))};
p4=p[x,8]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))};
p5=p[x,9]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))};
p6=p[x,12]/.{(Subscript[x, 8])->-(Subscript[x, 7])}/.{(Subscript[x, 6])->-((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]))};

We construct a flat basis using the basic invariants defined above. These are the Saito polynomials which we denote by t_ below.

(Subscript[t, 1])= p1;
(Subscript[t, 2])=p2;
(Subscript[t, 3])=p3-15 p1^3;
(Subscript[t, 4])=3/16 (p4 - 7/2 p1 p3 + 385/12 p1^4);
(Subscript[t, 5])=1/7(p5-42/5 p2 p1^2);
(Subscript[t, 6])=p6-209/16 p4 p1^2 - 77/576 p3^2 + 2959/96 p3 p1^3 -121/120 p2^2 p1 - 6633/32 p1^6;

Consider a basis of simple roots given by
(Subscript[α, 1]) =(1,-1,0,0,0,0)
(Subscript[α, 2])=(0,1,-1,0,0,0)
(Subscript[α, 3])=(0,0,1,-1,0,0)
(Subscript[α, 4])=(0,0,0,1,-1,0)
(Subscript[α, 5])=(1,1,1,1,2,0)
(Subscript[α, 6])=(2,2,2,0,0,2)

We transform the coordinates (Subscript[x, i]) to the coordinates ((Subscript[α, i]),x). This is given by the matrix A=(A_{ij})_{i,j=1}^6 below.

A={{1,-1,0,0,0,0},{0,1,-1,0,0,0},{0,0,1,-1,0,0},{0,0,0,1,-1,0},{1,1,1,1,2,0},{2,2,2,0,0,2}};
B=Inverse[A];

Define Saito metric in flat coordinates

n[k_,l_]:=Sum[D[(Subscript[t, i]),(Subscript[x, k])]D[(Subscript[t, 7-i]),(Subscript[x, l])],{i,1,6}];

Dimension 1

Irreducible root systems

A_5, {2, 3, 4, 5, 6}

Impose the A_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA5=Table[n[i,j] ,{i,{1, 2,3 , 4, 5, 7}},{j,{1, 2,3 , 4, 5, 7}}]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}/.{(Subscript[x, 5])->0};

SaitoA5n=Transpose[B]. SaitoA5. B;
SaitoA5n[[6,6]]

D_5, {1, 2, 3, 4, 5}

Impose the D_5 stratum restriction on the Saito metric

SaitoD5=Table[n[i,j] ,{i,{1, 2,3 , 4, 5, 7}},{j,{1, 2,3 , 4, 5, 7}}]/.{(Subscript[x, 1])->-5(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 4])->(Subscript[x, 5])}/.{(Subscript[x, 7])->3(Subscript[x, 5])};
SaitoD5n=Transpose[B]. SaitoD5. B;
SaitoD5n[[1,1]]

Reducible root systems

A_4 x A_1, {1, 2, 3, 4, 6}

Impose the A_4 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA4A1=Table[n[i,j] ,{i,{1, 2,3 , 4, 5, 7}},{j,{1, 2,3 , 4, 5, 7}}]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 3])->-1/2 (Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 4])->-1/2 (Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 5])->-1/2 (Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 7])->-3/2(Subscript[x, 2])};
SaitoA4A1n=Transpose[B]. SaitoA4A1. B;
SaitoA4A1n[[2,2]]

A_2 x A_2 x A_1, {1, 3, 4, 5, 6}

Impose the A_2 x A_2 x A_1 stratum restriction on the Saito metric

SaitoA2A2A1=Table[n[i,j] ,{i,{1, 2,3 , 4, 5, 7}},{j,{1, 2,3 , 4, 5, 7}}]/.{(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 4])->-(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 5])->-(Subscript[x, 1])}/.{(Subscript[x, 7])->-3(Subscript[x, 1])};
SaitoA2A2A1n=Transpose[B]. SaitoA2A2A1. B;
SaitoA2A2A1n[[3,3]]

Determinant of restricted Saito metric - type F_4 and H_4

Objective: To find the determinant of the restricted Saito metric on one dimensional strata. We use the flat coordinates from Appendix A [A] (see therein for details).

R=F_4

We define a set of basic invariants which we denote below by p[_]. We use these to define flat coordinates which are denoted by t_.

p[k_]:=Sum[((Subscript[x, i])-(Subscript[x, j]))^k + ((Subscript[x, i])+(Subscript[x, j]))^k,{i, 1, 4}, {j, i+1, 4}];

(Subscript[t, 1])=p[2]/144;
(Subscript[t, 2])=1/6 Simplify[(1/10368) (648 2 p[6] - 5 9 p[2]^3)];
(Subscript[t, 3])=1/6Simplify[-(1/3732480)( 4 69984 p[8] -9072 9 2p[2]p[6] + 35 (49+50)p[2]^4)];
(Subscript[t, 4])= -Simplify[(1/4837294080)(8 10077696 p[12] - 384912 19 4 p[8] p[2]^2 + 769824 (-7)4 p[6]^2 + 7128 ( 319 + 376 + 112)2 p[6]p[2]^3 - 11 (3641 + 7032 + 4560 + 1048)p[2]^6)];

We define a basis of simple roots

(Subscript[a, 1])= {0,1,-1,0};
(Subscript[a, 2])={0,0,1,-1};
(Subscript[a, 3])={0,0,0,1};
(Subscript[a, 4])=1/2{1,-1,-1,-1};

der[i_]:={D[(Subscript[t, i]), (Subscript[x, 1])], D[(Subscript[t, i]), (Subscript[x, 2])],D[(Subscript[t, i]), (Subscript[x, 3])],D[(Subscript[t, i]), (Subscript[x, 4])]};

Dimension 1

We find below the component of the Saito metric restricted to one-dimensional strata in the corresponding coordinate \tilde{x}^i (see Lemmas 3.5.1, 3.5.8 in [A] for the definition of these coordinates; see also Theorem 3.5.9 and formulae (3.58-3.60).

Saito[i_]:= FullSimplify[Sum[(Subscript[a, i]). der[j] (Subscript[a, i]). der[5-j], {j, 1, 4}]];

Irreducible root system

B_3, {2, 3, 4}

FullSimplify[Saito[1]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 3])->0}/.{(Subscript[x, 4])->0}]

Reducible root system

A_2 x A_1, {1, 2, 4}

FullSimplify[Saito[3]/.{(Subscript[x, 1])->3(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 3])->(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 4])->(Subscript[x, 2])}]

R=H_4

We use the Saito polynomials for the group H_4 which are given in [SYS] . Note that expressions for the polynomials (Subscript[z, 12]), and (Subscript[z, 30]) seem to contain typos. We give correct expressions below.

We define polynomials p1, p2, p3, p4 as in [p. 400, SYS] and we use these to define Saito polynomials for the group H_3, which we denote below by (Subscript[t, 1]), (Subscript[t, 2, ])(Subscript[t, 3]).

p1= (Subscript[x, 1])^2 + (Subscript[x, 2])^2 + (Subscript[x, 3])^2;
p2= (Subscript[x, 1])^2 (Subscript[x, 2])^2 +(Subscript[x, 2])^2 (Subscript[x, 3])^2 + (Subscript[x, 1])^2(Subscript[x, 3])^2;
p3= (Subscript[x, 1])^2 (Subscript[x, 2])^2(Subscript[x, 3])^2;
p4= ((Subscript[x, 1])^2-(Subscript[x, 2])^2)((Subscript[x, 1])^2-(Subscript[x, 3])^2)((Subscript[x, 2])^2-(Subscript[x, 3])^2);

(Subscript[t, 1])= p1;
(Subscript[t, 2])= 5(-11 p3 + p1 p2 + Sqrt[5] p4);
(Subscript[t, 3])= 10 (95 p2 p3 -32 p1^2 p3 - 5 p1 p2^2 + 2 p1^3 p2 - 1/25 p1^5 + 3 Sqrt[5] p2 p4);

We define polynomials x2, x6, and x10 as in [p.401, SYS]. We use these to define polynomials (Subscript[z, 2]), (Subscript[z, 12]),(Subscript[z, 20]),(Subscript[z, 30]), as given in [p.403, SYS].

x2= (Subscript[t, 1]);
x6= 1/5 (Subscript[t, 2]);
x10= 1/10 (Subscript[t, 3])+ 1/25 (Subscript[t, 1])^5;

(Subscript[z, 2])= (Subscript[x, 0])^2 + x2;
(Subscript[z, 12])= -2 x2 (Subscript[x, 0])^10 + 6 x2^2 (Subscript[x, 0])^8+(33 x6- 14 x2^3) (Subscript[x, 0])^6 -(33 x2 x6 -13 x2^4)(Subscript[x, 0])^4 + (11 x10 + 2 x2^5)(Subscript[x, 0])^2- x2 x10 + 3/2 x6^2;
(Subscript[z, 20])= 4 x2^2(Subscript[x, 0])^16 -(30x6 + 20 x2^3)(Subscript[x, 0])^14 + (138 x2 x6 + 44 x2^4)(Subscript[x, 0])^12 + (180 x10 -402 x2^2 x6-44 x2^5)(Subscript[x, 0])^10 +(-464 x2 x10 + 294 x6^2 + 402 x2^3 x6 + 44 x2^6)(Subscript[x, 0])^8 + ( 296 x2^2 x10 -306 x2 x6^2 -138 x2^4 x6 -20 x2^7)(Subscript[x, 0])^6 +(-114 x6 x10 -76 x2^3 x10 + 168 x2^2 x6^2 + 30 x2^5 x6+ 4 x2^8)(Subscript[x, 0])^4 + (4 x2^4 x10 + 57/2 x6^3 - 21 x2^3 x6^2 ) (Subscript[x, 0])^2 + x10^2 - 3/2 x2 x6^3;

(Subscript[z, 30])= 32/3 x2^3 (Subscript[x, 0])^24 -(120 x2 x6 + 80 x2^4) (Subscript[x, 0])^22 + (360 x10 + 1344/5 x2^5 + 672 x2^2 x6)(Subscript[x, 0])^20 + (-2880 x2 x10 + 1080 x6^2 -1608 x2^3 x6 -1328/3 x2^6)(Subscript[x, 0])^18 +(10024 x2^2 x10 -5628 x2 x6^2 + 1248 x2^4 x6 + 272 x2^7)(Subscript[x, 0])^16 + (-7260 x6 x10 - 16856 x2^3 x10 + 18588 x2^2 x6^2 + 272 x2^8)(Subscript[x, 0])^14  + (23508 x2 x6 x10 + 14216 x2^4 x10 - 5796 x6^3 -27396 x2^3 x6^2 - 1248 x2^6 x6 - 1328/3 x2^9)(Subscript[x, 0])^12 + ( 3240 x10^2 + 7650 x2 x6^3 + 19968 x2^4 x6^2 + 1608 x2^7 x6 + 1344/5 x2^10)(Subscript[x, 0])^10 + (-3232 x2 x10^2 - 1956 x2^2 x6^3 - 6924 x2^5 x6^2 -672 x2^8 x6 - 80 x2^11) (Subscript[x, 0])^8 + (1168 x2^2 x10^2 - 1908 x2 x6^2 x10 - 2172 x2^4 x6 x10 - 344 x2^7 x10 + 2394 x6^4 + 288 x2^3 x6^3 + 1332 x2^6 x6^2 + 120 x2^9 x6 + 32/3 x2^12)(Subscript[x, 0])^6+ (348 x6 x10^2 -152 x2^3 x10^2 + 408 x2^2 x6^2 x10 + 60 x2^5 x6 x10 + 16 x2^8 x10 -909 x2 x6^4 + 84 x2^4 x6^3 - 84 x2^7 x6^2 )(Subscript[x, 0])^4 + ( 8 x2^4 x10^2 -87 x6^3 x10 - 42 x2^3 x6^2 x10 + 135 x2^2 x6^4 -6x2^5 x6^3 ) (Subscript[x, 0])^2 + 4/3 x10^3 - 3 x2 x6^3 x10 + 9/5 x6^5;

We correct expressions (Subscript[z, 12]),(Subscript[z, 30]) and we denote new expressions by (Subscript[k, 2])and (Subscript[k, 4])respectively. We also use the notations (Subscript[k, 1])=(Subscript[z, 2]), (Subscript[k, 3])=(Subscript[z, 20]).

(Subscript[k, 1])=(Subscript[z, 2]);
(Subscript[k, 2])= -2 x2 (Subscript[x, 0])^10 + 6 x2^2 (Subscript[x, 0])^8+(33 x6-14 x2^3) (Subscript[x, 0])^6 -(33 x2 x6 -6 x2^4)(Subscript[x, 0])^4 + (11 x10 -2 x2^5)(Subscript[x, 0])^2- x2 x10 + 3/2 x6^2;
(Subscript[k, 3])=(Subscript[z, 20]);
(Subscript[k, 4])=32/3 x2^3 (Subscript[x, 0])^24 -(120 x2 x6 +80 x2^4)(Subscript[x, 0])^22 +(360 x10 + (1344/5) x2^5 + 672 x2^2 x6)(Subscript[x, 0])^20 + (-2880 x2 x10 + 1080 x6^2 +-1608 x2^3 x6 -(1328/3)x2^6)(Subscript[x, 0])^18 +(10024 x2^2 x10 -5628 x2 x6^2 + 1248 x2^4 x6 +272 x2^7)(Subscript[x, 0])^16 +(-7620 x6 x10 -16856 x2^3 x10 + 18588 x2^2 x6^2 + 272 x2^8)(Subscript[x, 0])^14 +(23508 x2 x6 x10 +14216 x2^4 x10 -5796 x6^3 -27396 x2^3 x6^2 -1248 x2^6 x6 -(1328/3) x2^9)(Subscript[x, 0])^12 + ( 3240 x10^2 +7350 x2 x6^3 + 19968 x2^4 x6^2 + 1608 x2^7 x6 + (1344/5) x2^10 + -25332 x10 x6 x2^2 -7160 x10 x2^5)(Subscript[x, 0])^10 + (-3232 x2 x10^2 -1956 x2^2 x6^3 -6924  x2^5 x6^2 -672 x2^8 x6 -80 x2^11 + 2144 x10 x2^6 + 10908 x10 x6 x2^3 -906 x10 x6^2) (Subscript[x, 0])^8 +(1168x2^2 x10^2 -1908 x2 x6^2 x10 -2172 x2^4 x6 x10 -344 x2^7 x10 + 2394 x6^4 + 288 x2^3 x6^3 + 1332 x2^6 x6^2 + 120 x2^9 x6 + (32/3) x2^12)(Subscript[x, 0])^6 +(348 x6 x10^2 -152 x2^3 x10^2 + 408 x2^2 x6^2 x10 + 60 x2^5 x6 x10 + 16 x2^8 x10 -909 x2 x6^4 + 84 x2^4 x6^3 -84 x2^7 x6^2 )(Subscript[x, 0])^4 + ( 8 x2^4 x10^2 -87 x6^3 x10 -42 x2^3 x6^2 x10 + 135 x2^2 x6^4 -6 x2^5 x6^3 ) (Subscript[x, 0])^2 +(  (4/3) x10^3-3 x6^3 x10 x2 + (9/5) x6^5) ;

We define Saito polyonomials for  H_4 which we denote below by (Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 2]), (Subscript[p, 3])and (Subscript[p, 4]).

(Subscript[p, 1])=1/60(Subscript[k, 1]);
(Subscript[p, 2])=- 1/Sqrt[30]((Subscript[k, 2]) + 4/45 (Subscript[k, 1])^6);
(Subscript[p, 3])= 1/Sqrt[30]((Subscript[k, 3]) + 1/3(Subscript[k, 1])^4 (Subscript[k, 2]) + 8/405 (Subscript[k, 1])^10);
(Subscript[p, 4])= (Subscript[k, 4]) - 4/15 (Subscript[k, 1])^5 (Subscript[k, 3]) -2/3 (Subscript[z, 2])^3 (Subscript[k, 2])^2 -56/405 (Subscript[k, 1])^9 (Subscript[k, 2])- 104/18225 (Subscript[k, 1])^15;

We confirm that (Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[p, 4]) are Saito polynomials by calculating the intersection form. This metric is denoted below by g[_, _].

g[a_, b_]:= Sum[D[(Subscript[p, a]), (Subscript[x, i])]D[(Subscript[p, b]), (Subscript[x, i])], {i, 0, 3}];

The calculation below shows that in the basis  (Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[p, 4]) the Saito metric takes the required form, that is it’s matrix is anti-diagonal with 1 as entries.

SolveAlways[ g[1,1]-f1 (Subscript[p, 1])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[ g[1,2]-f1 (Subscript[p, 2])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[ g[1,3]-f1 (Subscript[p, 3])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[g[1,4]-f1 (Subscript[p, 4])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[ g[2,2]-f1 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 3])-f2 (Subscript[p, 1])^5 (Subscript[p, 2])-f3 (Subscript[p, 1])^11==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[g[2,3]-f1 (Subscript[p, 4]) -f2 (Subscript[p, 1])^3 (Subscript[p, 2])^2-f3 (Subscript[p, 1])^5 (Subscript[p, 3]) -f4 (Subscript[p, 1])^9 (Subscript[p, 2])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[ g[2,4]-f1 (Subscript[p, 1])^5(Subscript[p, 4])-f2 (Subscript[p, 3])^2 -f3 (Subscript[p, 1])^4 (Subscript[p, 2])(Subscript[p, 3])-f4 (Subscript[p, 1])^2 (Subscript[p, 2])^3-f5 (Subscript[p, 1])^20-f6 (Subscript[p, 1])^8 (Subscript[p, 2])^2-f7 (Subscript[p, 1])^10 (Subscript[p, 3])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[g[3,3]-f1  (Subscript[p, 1])^4 (Subscript[p, 4]) -f2 (Subscript[p, 1])^3 (Subscript[k, 2])(Subscript[p, 3]) -f3 (Subscript[p, 3]) (Subscript[p, 1])^9 -f4 (Subscript[p, 1])^7 (Subscript[p, 2])^2-f5 (Subscript[p, 1]) (Subscript[p, 2])^3-f6 (Subscript[p, 1])^19-f7 (Subscript[p, 1])^13 (Subscript[p, 2])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[g[3,4]+f1 (Subscript[p, 4])(Subscript[p, 2])(Subscript[p, 1])^3 + f2 (Subscript[p, 4])(Subscript[p, 1])^9 + f3 (Subscript[p, 3])(Subscript[p, 2])^2 (Subscript[p, 1])^2 + f4 (Subscript[p, 3])(Subscript[p, 2])(Subscript[p, 1])^8  + f5 (Subscript[p, 1])^4 (Subscript[p, 3])^2+ f6 (Subscript[p, 2])(Subscript[p, 1])^18 + f7 (Subscript[p, 2])^2 ((Subscript[p, 1])^12)+f8 (Subscript[p, 2])^3 (Subscript[p, 1])^6 +f9 (Subscript[p, 2])^4 +f10 (Subscript[p, 1])^24 +f12 (Subscript[p, 1])^14 (Subscript[p, 3])==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

SolveAlways[g[4,4]+f0 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 2])^3 (Subscript[p, 3])+f1 (Subscript[p, 1])^2 (Subscript[p, 2])^2 (Subscript[p, 4]) + f2 (Subscript[p, 1])^3 (Subscript[p, 2])(Subscript[p, 3])^2 +f3 (Subscript[p, 1])^4 (Subscript[p, 3])(Subscript[p, 4]) + f5 (Subscript[p, 1])^5 (Subscript[p, 2])^4 + f6 (Subscript[p, 1])^7 (Subscript[p, 2])^2 (Subscript[p, 3])+f7 (Subscript[p, 1])^8 (Subscript[p, 2])(Subscript[p, 4])+ f8 (Subscript[p, 1])^9 (Subscript[p, 3])^2+f9 (Subscript[p, 1])^11(Subscript[p, 2])^3 + f10 (Subscript[p, 1])^13 (Subscript[p, 2])(Subscript[p, 3])+ f11 (Subscript[p, 1])^14 (Subscript[p, 4])+ f12 (Subscript[p, 1])^17 (Subscript[p, 2])^2+f13 (Subscript[p, 1])^19 (Subscript[p, 3])+f14 (Subscript[p, 1])^23 (Subscript[p, 2])+ f15 (Subscript[p, 1])^29==0, {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

Define a basis of simple roots

τ=1/2 (1+ Sqrt[5]);

(Subscript[a, 1])= {0,2,0,0};
(Subscript[a, 2])=-{0,τ, -(τ-1),1};
(Subscript[a, 3])={0,0,0,2};
(Subscript[a, 4])=-{ -(τ-1),0,τ,1};

der[i_]:={D[(Subscript[p, i]), (Subscript[x, 0])],D[(Subscript[p, i]), (Subscript[x, 1])], D[(Subscript[p, i]), (Subscript[x, 2])],D[(Subscript[p, i]), (Subscript[x, 3])]};

Dimension 1

We find below the component of the Saito metric restricted to one-dimensional strata in the corresponding coordinate \tilde{x}^i (see Lemmas 3.5.1, 3.5.8 in [A] for the definition of these coordinates; see also Theorem 3.5.9 and formulae (3.58-3.60)

Saito[i_]:= Sum[(Subscript[a, i]). der[j] (Subscript[a, i]). der[5-j], {j, 1, 4}];

Irreducible root systems

A_3, {2, 3, 4}

FullSimplify[Saito[1]/.{(Subscript[x, 1])->(τ-1)/τ (Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 0])->τ/(τ-1)(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 3])->0}]

H_3, {1, 2, 3}

FullSimplify[Saito[4]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 2])->0}/.{(Subscript[x, 3])->0}]

Reducible root systems

I_2(5) x A_1, {1, 2, 4}

FullSimplify[Saito[3]/.{(Subscript[x, 3])->(τ-1) (Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 0])->(2τ-1)/(τ-1)(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 1])->0}]

A_1 x A_2, {1, 3, 4}

FullSimplify[Saito[2]/.{(Subscript[x, 1])->0}/.{(Subscript[x, 0])->τ/(τ-1)(Subscript[x, 2])}/.{(Subscript[x, 3])->0}]